f와 g의 컨볼루션은 두 함수가 R에서 로컬로 정사각형이고 폼 [a, +∞) (또는 [−, a]에서 모두 지원되는 간격으로 지원되는 경우에도 잘 정의됩니다. 입력 f(t)가 스텝, 임펄스 또는 정현파와 같이 잘 정의된 입력인 경우 출력 y(t)를 찾는 방법을 알고 있습니다. 컨볼루션을 사용하면 아래와 같은 보다 복잡한 입력에 대한 응답을 확인할 수 있습니다. 실제로 임펄스 응답을 알고 있는 경우 컨볼루션을 사용하여 모든 입력에 대한 출력을 찾을 수 있습니다. 이것은 놀라운 힘을 제공합니다. 두 지수의 컨볼루션, $f(t)=e^{-t}, 쿼드 h(t)=3cdot e^{-3t}$. (Matlab 스크립트, Convolution.m은 이 섹션의 모든 그래프를 만드는 데 사용되었습니다.) 컨볼루션 및 관련 작업은 과학, 엔지니어링 및 수학 분야의 많은 응용 분야에서 발견됩니다. 그래픽으로, 우리는 함수 중 하나를 반전할 수 있으며 시간 축을 통해 해당 기능을 슬라이딩하는 동안 각 시간에 대한 제품의 적수를 계산합니다. 여기서 당신은 신호와 시스템의 여러 조합을 시도하고 자신의 예를 만들 수 있습니다. 이제 컨볼루션 설명에 대한 고전적인 예: 직사각형 함수자체의 구성을 살펴보겠습니다. 여기서 결과는 두 사각형이 완벽하게 겹치는 경우 최대삼각형입니다: 많은 상황에서 이산 회선으로 변환할 수 있으므로 컨볼루션 속성으로 빠른 변환을 사용하여 계산을 구현할 수 있습니다.

예를 들어, 숫자 시퀀스의 컨볼루션은 다중 자리 숫자를 곱한 커널 작업이므로 변환 기법(Knuth 1997, §4.3.3.C, von zur Gathen 및 Gerhard 2003, §8.2)으로 효율적으로 구현할 수 있습니다. 로컬로 컴팩트한 아벨리안 그룹에서 컨볼루션 정리의 버전은 컨볼루션의 푸리에 변환이 푸리에 변환의 포인트 와이즈 제품입니다. Lebesgue 측정을 가진 원 단 T는 즉각적인 보기입니다. L1 (T)의 고정 g의 경우, 우리는 힐베르트 공간 L2 (T)에 행동 다음과 같은 익숙한 연산자가 : 컨볼루션과 상관 관계는 매우 비슷합니다. 사실, 유일한 차이점은 상관 관계에 역반전 된 함수가 없다는 것입니다 : $$rho_{s, h} = corr(s,h) = s(t)*h(-t) = int_0^infty s(tau-t)ttau$$ 컨볼루션이 두 차원 이상으로 일반화될 수 있습니다. 2차원(2D) 연선도 이미지 처리와 같은 매우 유용합니다. 이미지는 2D 신호이며 2D 필터에 대한 입력일 수도 있습니다. 이미지가 $s 신호인 경우$(x,y)$가 픽셀의 위치이고 $h(x,y)$가 필터의 커널인 경우, 컨볼루션은 : $$ (s*h)(x,y) = int_x int_ys (alpha,)h (alpha,)h (xalpha, y- n\)의 부분 커널이 가우시안인 경우 각 위치에서 $(x,y)$에서 이미지의 작은 영역을 “평균” 필터로 통합하기 때문에 이미지가 부드럽게 됩니다. 컨볼루션에는 확률, 통계, 컴퓨터 비전, 자연어 처리, 이미지 및 신호 처리, 엔지니어링 및 미분 방정식을 포함하는 응용 프로그램이 있습니다. [인용 필요] 따라서 일부 변환 고정 연산은 컨볼루션으로 나타낼 수 있습니다.