열린 하위 집합의 모든 지점에서 구별되는 복잡한 함수 는 복잡한 평면의 {디스플레이 스타일 Omega }를 Ω {디스플레이 스타일 Omega }에서 홀로모픽이라고 합니다. 복잡한 분석의 맥락에서 z 0 {displaystyle z_{0}}에서 f {displaystyle f}의 미분은 특정 복잡한 공간의 주요 용도가 웨이브 함수로서 양자 역학에 있는 것으로 정의됩니다. 홀로모픽 함수는 몇 가지 놀라운 기능을 나타낸다. 예를 들어, Picard의 정리는 전체 함수의 범위가 세 가지 가능한 형태만 취할 수 있다고 주장합니다: C {디스플레이 스타일 mathbb {C} } ystyle z_{0}에서 mathbb {C} } . 즉, 두 개의 별개의 복잡한 숫자 z {displaystyle z} 및 w {displaystyle w}가 전체 함수 f {displaystyle f}의 범위에 없는 경우, f {displaystyle f}는 상수 함수입니다. 또한 열린 집합 U {displaystyle U}에 정의된 홀로모픽 함수 f {displaystyle f}가 주어지면, f {displaystyle f}의 분석 연속이 더 큰 오픈 세트 V에서 U {디스플레이 스타일 Vsupset U}에 고유합니다. 결과적으로 임의로 작은 영역에 대한 홀로모픽 함수의 값은 실제로 홀로모픽 함수로 확장 될 수있는 모든 곳에서 함수의 값을 결정합니다. 지금 0 < | x – X | < δ , {디스플레이 스타일 0<|x-X|델타,}는 x {디스플레이 스타일 x}가 반경의 원 안에 있는 복잡한 숫자일 수 있음을 의미합니다 {디스플레이 스타일 delta } , X {디스플레이 스타일 X}를 중심으로 합니다. 즉, 복잡한 숫자의 한계를 복용 할 때, 즉, 복잡한 함수 f : C → C {디스플레이 스타일 f : mathbb {C} 수학 {C} } 복잡한 분석으로 분해 될 수있다 18 세기에 뿌리와 수학의 고전적인 지점 중 하나입니다 바로 직전.

복잡한 숫자와 관련된 중요한 수학자는 20 세기에 오일러, 가우스, 리만, 코시, 웨이어 스트라스, 그리고 더 많은 을 포함한다. 복잡한 분석, 특히 등컨포멀 매핑 이론은 많은 물리적 응용 프로그램을 가지고 있으며 분석 수 이론 전반에 걸쳐 사용됩니다. 현대에, 그것은 복잡한 역학과 반복 홀로모픽 기능에 의해 생성 프랙탈의 사진에서 새로운 부스트를 통해 매우 인기를 끌고있다. 복잡한 분석의 또 다른 중요한 응용 프로그램은 양자 필드 이론에서 고정 적 불변을 연구 문자열 이론에있습니다. 복합 변수의 차별화 함수는 Taylor 계열의 합계(즉, 분석)와 같기 때문에 복잡한 분석은 특히 복잡한 변수(즉, 홀로모픽 함수)의 분석 함수와 관련이 있습니다. x {displaystyle x}는 실제 한계와 마찬가지로 왼쪽이나 오른쪽뿐만 아니라 복잡한 평면의 모든 방향에서 X {displaystyle X}에 접근할 수 있습니다. 복잡한 함수는 복잡한 인수를 취하고 복잡한 결과를 생성하는 함수입니다. 이러한 함수의 가장 간단한 예는 전원 계열로 정의할 수 있는 일반적인 실제 함수입니다. 함수 인수가 복잡하도록 하면서 동일한 파워 시리즈를 사용하십시오. 복잡한 분석은 전통적으로 복잡한 변수의 함수 이론으로 알려져 있으며, 복잡한 숫자의 함수를 조사하는 수학적 분석의 분기입니다. 대수 기하학, 숫자 이론, 분석 조합, 응용 수학을 포함하여 수학의 많은 분기에 유용합니다; 뿐만 아니라 유체 역학, 열역학, 특히 양자 역학의 지점을 포함하여 물리학에서.

또한 복잡한 해석을 사용하면 원자력, 항공 우주, 기계 및 전기 공학과 같은 엔지니어링 분야에서도 응용이 가능합니다. [인용 필요] 복잡한 함수로서의 차별화성은 한 지점에서 한계로 정의됩니다: 홀로모픽 함수의 중요한 속성은 코시-리만으로 알려진 실제 및 가상 구성 요소의 부분 적 파생 요소 간의 관계입니다. 조건.